Нахождение токов в цепи. Расчет простых электрических цепей

Постоянным током являются передвигающиеся в определенном направлении частицы с зарядом. По-другому ток можно назвать такими величинами, как или напряжение, которые являются постоянными и в направлении, и по значению.

Рассмотрим его характеристику, применение, а также электрические цепи постоянного тока. Ответим на вопросы, каким образом проводится исследование электрической цепи, как она рассчитывается и на некоторые другие.

От плюса к минусу или наоборот?

В источнике электроны передвигаются от минусового значения к плюсовому. Несмотря на то что все об этом знают, принято считать направление от плюса к минусу. Интересно почему? Нам объясняют, что так исторически сложилось. Но так ли это на самом деле? Ведь эта «история» сложилась в какой-то совершенно незначительный промежуток времени.

В постоянном токе действуют главные законы электротехники: закон Ома и законы Кирхгофа. Ток называли раньше гальваническим, так как получили его в результате гальванической реакции. Когда начали проводить в дома, велись жесткие споры о том, какой ток вводить: постоянный или переменный. «Войну» выиграл второй, так как он оказался менее затратным. Его гораздо проще передавать на большие расстояния благодаря легкой трансформации.

Как получается постоянный ток

Но и не исчез из использования постоянный ток. постоянного тока встречаются, к примеру, в аккумуляторах.

Ток вырабатывается посредством электромагнитной индукции, после чего происходит выпрямление коллектором. Такую реакцию производит генератор, где тоже вырабатывается постоянный ток. Электрические цепи постоянного тока могут трансформироваться из переменного за счет преобразователей и выпрямителей.

Область применения

Применение этого вида достаточно широко. В большинстве бытовых приборов дома, к примеру, в компьютерном модеме, зарядке для мобильника, электрочайнике или кухонном комбайне работает именно постоянный ток. Электрические цепи постоянного тока вырабатываются и преобразуются на автомобильном генераторе и любом портативном приборе. На нем функционируют все промышленные двигатели, а в отдельных странах даже высоковольтные линии электрических передач. Даже в некоторых медицинских приборах он применяется.

Постоянный ток является более безопасным, так как смертельный исход может наступить при ударе током от 300 мА, а при переменном — уже при 50-100 мА.

Электрическая цепь

Связь обеспечивается всеми устройствами, благодаря которым осуществляется передача, распределение и преобразование тепловой, электромагнитной, световой и иных видов энергоинформации. Процессы описаны такими как ток и напряжение.

Основные элементы электрических цепей постоянного тока

Основные элементы — это приемники и источники энергоинформации, соединяющиеся проводниками. В источниках различные виды энергии преобразуются в электрическую. А в приемниках, наоборот, электроэнергия переходит в иные виды.

Цепи, где преобразование, передача и получение электрической энергии происходит при постоянном значении напряжения и тока на протяжении всего времени, называются цепями постоянного тока. Там, где процесс происходит с переменным значением — цепями переменного тока.

Чтобы произвести расчет и исследование электрической цепи постоянного тока (лабораторная работа для этих целей обычно служит), применяется схема замещения, то есть идеализированная цепь для расчета реальной. Чтобы ее получить, заменить нужно все элементы схемы. Физические процессы должны быть выражены в каждом математическом описании.

Резистивные элементы

Резистор является одним из приемников электроцепи. Его характеризует активное сопротивление, которое измеряется в Омах. Резистивные сопротивления или, как их еще называют, активные вводятся в схемы замещения, чтобы учитывать преобразующуюся электромагнитную энергию в иные виды.

Расчет сложных электрических цепей постоянного тока производится, если задать положительное направление всех токов и напряжений. Выбирают направление их узла, имеющего большой потенциал к узлу с меньшим потенциалом.

При независящем сопротивлении от тока резистор называют линейным, а электрическую цепь — линейной резистивной. Вольт-амперная характеристика выражается через линейную функцию, проходящую через начало координат.

При анализе таких цепей часто применяют принцип упрощения, состоящий в замене сложных участков электрической цепи на простые. Но ток и напряжение меняться не должны. Тогда цепь свернется до самого простого вида. Соединенные резистивные элементы должны быть параллельно и последовательно преобразованы.

Последовательное и параллельное соединение

При последовательном соединении во всех элементах ток имеет одно и то же значение. Здесь напряжение определяется посредством суммы всех включенных сопротивлений, умноженной на I, то есть:

U=(R1+R2+RN)I=RI.

При параллельном соединении применяется постоянное напряжение, зато ток представляет собой сумму токов на каждом из элементов. Поэтому его можно представить как произведение напряжения на эквивалентную проводимость активных элементов. А она, в свою очередь, равна сумме проводимостей элементов. Вот из чего состоит постоянный ток.

Электрические цепи постоянного тока, помимо этого, содержат источники напряжения и тока.

Источники

Независимое напряжение (ЭДС, ток) от сопротивления внешней цепи называют его источником. Источник ЭДС (напряжения) измеряется на холостом ходу, то есть, где ток в источнике равен нулю. В схемах замещения резистор учитывает тепловые энергетические потери, которые выделяются из источника. Если он равен нулю, а источник тока — бесконечности, это — идеальный источник. Реальный всегда имеет конечное значение.

Внешние характеристики следующие: у источников ЭДС и напряжения зависимость возникает от протекающего тока, а у источника тока — от напряжения на зажимах.

Реальные источники имеют линейные и нелинейные участки. Рассмотрим методы расчета линейных электрических цепей постоянного тока. Они описаны в законе Ома для полной цепи, где I=E/(Rh+Rbh). Тогда U= E- RbhI. Из этих формул выводятся внутреннее сопротивление и внутренняя проводимость:

• Rbh=∆U/∆I;
• Gbh=∆I/∆U.

Расчет нелинейных электрических цепей постоянного тока производится на основе закона Кирхгофа. Методы расчета для линейных и нелинейных схем разные. Поэтому последние в рамках данной статьи не рассматриваются.

Приборы для измерения линейного участка

Цепи постоянного тока содержит источники. А приборами, его измеряющие, являются: вольтметр для измерения напряжения на участке цепи и амперметр для последовательного включения в цепь. При нулевом значении и проводимости приборы являются идеальными.

Способы включения становятся более понятными при рассмотрении их с применением измерения сопротивления. По закону Ома R=U/I.

Мы знаем, что реальные приборы не имеют нулевого значения. Поэтому возможны лишь два варианта их включения:

• внутреннее сопротивление вольтметра в разы больше измеряемого амперметра — такое, чтобы снижение напряжения на нем не сокращало снижение на измеряемом сопротивлении, а напряжение, которое измеряется вольтметром должно соответствовать рабочему диапазону;
• внутреннее сопротивление вольтметра соизмеримо с измеряемым, а амперметра — существенно меньше измеряемого.

Эксперимент и задания для контрольной работы

Для измерения напряжения и тока применяются соответствующие генераторы. Внутреннее сопротивление у них измеряется посредством переключателей.

Вольтметр и амперметр входят в блок АВ1.

Для измерения сопротивления применяются специальные схемы. В источнике электродвижущей силы внутреннее сопротивление должно быть выключенным.

В рекомендуемом задании, которое должна иметь контрольная работа, электрические цепи постоянного тока изучаются посредством определения параметров источника электродвижущей силы, источника тока, измерения сопротивления, изучения включения параллельного и последовательного сопротивлений, ВАХ.

Изложение методов расчета и анализа электрических цепей, как правило, сводится к нахождению токов ветвей при известных значениях ЭДС и сопротивлений.

Рассматриваемые здесь методы расчета и анализа электрических цепей постоянного тока пригодны и для цепей переменного тока.

2.1 Метод эквивалентных сопротивлений

(метод свертывания и развертывания цепи).

Этот метод применяется только для электрических цепей содержащих один источник питания. Для расчета, отдельные участки схемы, содержащие последовательные или параллельные ветви, упрощают, заменяя их эквивалентными сопротивлениями. Таким образом, цепь свертывается до одного эквивалентного сопротивления цепи подключенного к источнику питания.

Затем определяется ток ветви, содержащий ЭДС, и схема разворачивается в обратном порядке. При этом вычисляются падения напряжений участков и токи ветвей. Так, например, на схеме 2.1 А Сопротивления R 3 и R 4 включены последовательно. Эти два сопротивления можно заменить одним, эквивалентным

R 3,4 = R 3 + R 4

После такой замены получается более простая схема(Рис.2.1Б ).

Здесь следует обратить внимание на возможные ошибки в определении способа соединений сопротивлений. Например сопротивления R 1 и R 3 нельзя считать соединенными последовательно, также как сопротивления R 2 и R 4 нельзя считать соединенными параллельно, т. к. это не соответствует основным признакам последовательного и параллельного соединения.

Рис 2.1 К расчету электрической цепи методом

Эквивалентных сопротивлений.

Между сопротивлениями R 1 и R 2 , в точке В , имеется ответвление с током I 2 .поэтому ток I 1 Не будет равен току I 3 , таким образом сопротивления R 1 и R 3 нельзя считать включенными последовательно. Сопротивления R 2 и R 4 с одной стороны присоединены к общей точке D , а с другой стороны — к разным точкам В и С. Следовательно, напряжение, приложенное к сопротивлению R 2 и R 4 Нельзя считать включенными параллельно.

После замены сопротивлений R 3 и R 4 эквивалентным сопротивлением R 3,4 и упрощением схемы (Рис. 2.1 Б ), более наглядно видно, что сопротивления R 2 и R 3,4 соединены параллельно и их можно заменить одним эквивалентным, исходя из того, что при параллельном соединении ветвей общая проводимость равна сумме проводимостей ветвей:

GBD = G 2 + G 3,4 , Или = + Откуда

RBD =

И получить еще более простую схему (Рис 2.1,В ). В ней сопротивления R 1 , RBD , R 5 соединены последовательно. Заменив эти сопротивления одним, эквивалентным сопротивлением между точками A и F , получим простейшую схему (Рис 2.1, Г ):

RAF = R 1 + RBD + R 5 .

В полученной схеме можно определить ток в цепи:

I 1 = .

Токи в других ветвях нетрудно определить переходя от схемы к схеме в обратном порядке. Из схемы на рисунке 2.1 В Можно определить падение напряжения на участке B , D цепи:

UBD = I 1 ·RBD

Зная падение напряжения на участке между точками B и D можно вычислить токи I 2 и I 3 :

I 2 = , I 3 =

Пример 1. Пусть (Рис 2.1 А ) R 0 = 1 Ом; R 1 =5 Ом; R 2 =2 Ом; R 3 =2 Ом; R 4 =3 Ом; R 5 =4 Ом; Е =20 В. Найти токи ветвей, составить баланс мощностей.

Эквивалентное сопротивление R 3,4 Равно сумме сопротивлений R 3 и R 4 :

R 3,4 = R 3 + R 4 =2+3=5 Ом

После замены (Рис 2.1 Б ) вычислим эквивалентное сопротивление двух параллельных ветвей R 2 и R 3,4 :

RBD = ==1,875 Ом,

И схема еще упростится (Рис 2.1 В ).

Вычислим эквивалентное сопротивление всей цепи:

R Экв = R 0 + R 1 + RBD + R 5 =11,875 Ом.

Теперь можно вычислить общий ток цепи, т. е. вырабатываемый источником энергии:

I 1 = =1,68 А.

Падение напряжения на участке BD будет равно:

UBD = I 1 · RBD =1,68·1,875=3,15 В.

I 2 = = =1,05 А; I 3 ===0,63 А

Составим баланс мощностей:

Е· I1= I12 · (R0+ R1+ R5) + I22 · R2+ I32 · R3,4 ,

20·1,68=1,682·10+1,052·3+0,632·5 ,

33,6=28,22+3,31+1,98 ,

Минимальное расхождение обусловлено округлением при вычислении токов.

В некоторых схемах нельзя выделить сопротивлений включенных между собой последовательно или параллельно. В таких случаях лучше воспользоваться другими универсальными методами, которые можно применить для расчета электрических цепей любой сложности и конфигурации.

2.2 Метод законов Кирхгофа.

Классическим методом расчета сложных электрических цепей является непосредственное применение законов Кирхгофа. Все остальные методы расчета электрических цепей исходят из этих фундаментальных законов электротехники.

Рассмотрим применение законов Кирхгофа для определения токов сложной цепи (Рис 2.2) если ее ЭДС и сопротивления заданы.

Рис. 2.2. К расчету сложной электрической цепи для

Определения токов по законам Кирхгофа.

Число независимых токов схемы равно числу ветвей (в нашем случае m=6). Поэтому для решения задачи необходимо составить систему из шести независимых уравнений, совместно по первому и второму законам Кирхгофа.

Количество независимых уравнений составленных по первому закону Кирхгофа всегда на единицу меньше чем узлов, Т. к. признаком независимости является наличие в каждом уравнении хотя бы одного нового тока.

Так как число ветвей M всегда больше, чем узлов К , То недостающее количество уравнений составляется по второму закону Кирхгофа для замкнутых независимых контуров, Т. е. чтобы в каждое новое уравнение входила хотя бы одна новая ветвь.

В нашем примере количество узлов равно четырем – A , B , C , D , следовательно, составим только три уравнения по первому закону Кирхгофа, для любых трех узлов:

Для узла A: I1+I5+I6=0

Для узла B: I2+I4+I5=0

Для узла C: I4+I3+I6=0

По второму закону Кирхгофа нам нужно составить также три уравнения:

Для контура A , C ,В, А: I 5 · R 5 — I 6 · R 6 — I 4 · R 4 =0

Для контура D ,A ,В, D : I 1 · R 1 — I 5 · R 5 — I 2 · R 2 =Е1-Е2

Для контура D ,В, С, D : I 2 · R 2 + I 4 · R 4 + I 3 · R 3 =Е2

Решая систему из шести уравнений можно найти токи всех участков схемы.

Если при решении этих уравнений токи отдельных ветвей получатся отрицательными, то это будет указывать, что действительное направление токов противоположно произвольно выбранному направлению, но величина тока будет правильной.

Уточним теперь порядок расчета:

1) произвольно выбрать и нанести на схему положительные направления токов ветвей;

2) составить систему уравнений по первому закону Кирхгофа – количество уравнений на единицу меньше чем узлов;

3) произвольно выбрать направление обхода независимых контуров и составить систему уравнений по второму закону Кирхгофа;

4) решить общую систему уравнений, вычислить токи, и, в случае получения отрицательных результатов, изменить направления этих токов.

Пример 2 . Пусть в нашем случае (рис. 2.2.) R 6 = ∞ , что равносильно обрыву этого участка цепи (рис. 2.3). Определим токи ветвей оставшейся цепи. вычислим баланс мощностей, если E 1 =5 В, E 2 =15 B, R 1 =3 Ом, R 2 = 5 Ом, R 3 =4 Ом, R 4 =2 Ом, R 5 =3 Ом.

Рис. 2.3 Схема к решению задачи.

Решение. 1. Выберем произвольно направление токов ветвей, их у нас три: I 1 , I 2 , I 3 .

2. Составим только одно независимое уравнение по первому закону Кирхгофа, т. к. в схеме лишь два узла В и D .

Для узла В : I 1 + I 2 — I 3 =О

3. Выберем независимые контуры и направление их обхода. Пусть контуры ДАВД и ДВСД будем обходить по часовой стрелке:

E1-E2=I1(R1 + R5) — I2·R2,

E2=I2 · R2 + I3 · (R3 + R4).

Подставим значения сопротивлений и ЭДС.

I 1 + I 2 — I 3 =0

I 1 +(3+3)- I 2 · 5=5-15

I 2 · 5+ I 3 (4+2)=15

Решив систему уравнений, вычислим токи ветвей.

I 1 =- 0,365А; I 2 = I 22 — I 11 = 1,536А; I 3 =1,198А.

Как проверку правильности решения составим баланс мощностей.

Σ EiIi= Σ Iy2·Ry

E1·I1 + E2·I2 = I12·(R1 + R5) + I22·R2 + I32·(R3 + R4);

5(-0,365) + 15·1,536 = (-0,365)2·6 + 1,5632·5 + 1,1982·6

1,82 + 23,44 = 0,96 + 12,20 + 8,60

21,62 ≈ 21,78.

Расхождения незначительны, следовательно решение верно.

Одним из главных недостатков этого метода является большое количество уравнений в системе. Более экономичным при вычислительной работе является Метод контурных токов .

2.3 Метод контурных токов.

При расчете Методом контурных токов полагают, что в каждом независимом контуре течет свой (условный) Контурный ток . Уравнения составляют относительно контурных токов по второму закону Кирхгофа. Таким образом количество уравнений равно количеству независимых контуров.

Реальные токи ветвей определяют как алгебраическую сумму контурных токов каждой ветви.

Рассмотрим, например, схему рис. 2.2. Разобьем ее на три независимых контура: СВАС ; АВ D А ; ВС D В и условимся, что по каждому из них проходит свой контурный ток, соответственно I 11 , I 22 , I 33 . Направление этих токов выберем во всех контурах одинаковым по часовой стрелке, как показано на рисунке.

Сопоставляя контурные токи ветвей, можно установить, что по внешним ветвям реальные токи равны контурным, а по внутренним ветвям они равны сумме или разности контурных токов:

I1 = I22, I2 = I33 — I22, I3 = I33,

I4 = I33 — I11, I5 = I11 — I22, I6 = — I11.

Следовательно, по известным контурным токам схемы легко можно определить действительные токи ее ветвей.

Для определения контурных токов данной схемы достаточно составить только три уравнения для каждого независимого контура.

Составляя уравнения для каждого контура необходимо учесть влияние соседних контуров токов на смежные ветви:

I11(R5 + R6 + R4) — I22·R5 — I33·R4 = O,

I22(R1 + R2 + R5) — I11·R5 — I33·R2 = E1 — E2,

I 33 (R 2 + R 3 + R 4 ) — I 11 · R 4 — I 22 · R 2 = E 2 .

Итак, порядок расчета методом контурных токов выполняется в следующей последовательности:

1. установить независимые контуры и выбрать направления в них контурных токов;

2. обозначить токи ветвей и произвольно дать им направления;

3. установить связь действительных токов ветвей и контурных токов;

4. составить систему уравнений по второму закону Кирхгофа для контурных токов;

5. решить систему уравнений, найти контурные токи и определить действительные токи ветвей.

Пример 3. Решим задачу (пример 2) методом контурных токов, исходные данные те же.

1. В задаче возможны только два независимых контура: выберем контуры АВ D А и ВС D В , и примем направления контурных токов в них I 11 и I 22 по часовой стрелке (рис. 2.3).

2. Действительные токи ветвей I 1 , I 2, I 3 и их направления также показаны на (рис 2.3).

3. связь действительных и контурных токов:

I 1 = I 11 ; I 2 = I 22 — I 11 ; I 3 = I 22

4. Составим систему уравнений для контурных токов по второму закону Кирхгофа:

E1 — E2 = I11·(R1 + R5 + R2) — I22·R2

E2 = I22·(R2 + R4 + R3) — I11·R2;

5-15=11·I 11 -5·I 22

15=11·I 22 -5·I 11 .

Решив систему уравнений получим:

I 11 = -0,365

I 22 = 1,197, тогда

I 1 = -0,365; I 2 = 1,562; I 3 = 1,197

Как видим реальные значения токов ветвей совпадают с полученными значениями в примере 2.

2.4 Метод узлового напряжения (метод двух узлов).

Часто встречаются схемы содержащие всего два узла; на рис. 2.4 изображена одна из таких схем.

Рис 2.4. К расчету электрических цепей методом двух узлов.

Наиболее рациональным методом расчета токов в них является Метод двух узлов.

Под Методом двух узлов понимают метод расчета электрических цепей, в котором за искомое напряжение (с его помощью затем определяют токи ветвей) принимают напряжение между двумя узлами А и В схемы – U АВ .

Напряжение U АВ может быть найдено из формулы:

U АВ =

В числителе формулы знак «+», для ветви содержащей ЭДС, берется если направление ЭДС этой ветви направлено в сторону повышения потенциала, и знак «-» если в сторону понижения. В нашем случае, если потенциал узла А принять выше потенциала узла В (потенциал узла В принять равным нулю), Е1 G 1 , берется со знаком «+», а Е2· G 2 со знаком «-»:

U АВ =

Где G – проводимости ветвей.

Определив узловое напряжение, можно вычислить токи в каждой ветви электрической цепи:

I К =(Ек- U АВ ) G К .

Если ток имеет отрицательное значение, то действительное его направление является противоположным обозначенным на схеме.

В этой формуле, для первой ветви, т. к. ток I 1 совпадает с направлением Е1 , то ее значение принимается со знаком плюс, а U АВ со знаком минус, т. к. направлено навстречу току. Во второй ветви и Е2 и U АВ направлены навстречу току и берутся со знаком минус.

Пример 4 . Для схемы рис. 2.4 если Е1= 120В, Е2=5Ом, R1=2Ом, R2=1Ом, R3=4Ом, R4=10Ом.

UАВ=(120·0,5-50·1)/(0,5+1+0,25+0,1)=5,4 В

I1=(E1-UАВ)·G1= (120-5,4)·0,5=57,3А;

I2=(-E2-UАВ)·G2 = (-50-5,4)·1 = -55,4А;

I3=(О-UАВ)·G3 = -5,4·0,25 = -1,35А;

I4=(О-UАВ)·G4 = -5,4·0,1 = -0,54А.

2.5. Нелинейные цепи постоянного тока и их расчет.

До сих пор мы рассматривали электрические цепи, параметры которых (сопротивления и проводимости) считались не зависящими от величины и направления проходящего по ним тока или приложенного к ним напряжения.

В практических условиях большинство встречающихся элементов имеют параметры зависящие от тока или напряжения, вольт-амперная характеристика таких элементов имеет нелинейный характер (рис. 2.5),такие элементы называются Нелинейными . Нелинейные элементы широко используются в различных областях техники (автоматики, вычислительной техники и других).

Рис. 2.5. Вольт-амперные характеристики нелинейных элементов:

1 — полупроводникового элемента;

2 — термосопротивления

Нелинейные элементы позволяют реализовать процессы которые невозможны в линейных цепях. Например, стабилизировать напряжение, усиливать ток и другие.

Нелинейные элементы бывают управляемыми и неуправляемыми. Неуправляемые нелинейные элементы работают без влияния управляющего воздействия (полупроводниковые диоды, термосопротивления и другие). Управляемые элементы работают под влиянием управляющего воздействия (тиристоры, транзисторы и другие). Неуправляемые нелинейные элементы имеют одну вольт-амперную характеристику; управляемые – семейство характеристик.

Расчет электрических цепей постоянного тока чаще всего производят графическими методами, которые применимы при любом виде вольт-амперных характеристик.

Последовательное соединение нелинейных элементов.

На рис. 2.6 приведена схема последовательного соединения двух нелинейных элементов, а на рис. 2.7 их вольтамперные характеристики – I (U 1 ) и I (U 2 )

Рис. 2.6 Схема последовательного соединения

Нелинейных элементов.

Рис. 2.7 Вольтамперные характеристики нелинейных элементов.

Построим вольт-амперную характеристику I (U ), выражающую зависимость тока I в цепи от приложенного к ней напряжения U . Так как ток обоих участков цепи одинаков, а сумма напряжений на элементах равна приложенному (рис. 2.6) U = U 1 + U 2 , то для построения характеристики I (U ) достаточно просуммировать абсциссы заданных кривых I (U 1 ) и I (U 2 ) для определенных значений тока. Пользуясь характеристиками (рис. 2.6) можно решить различные для этой цепи задачи. Пусть, например, задана величина приложенного к току напряжения U и требуется определить ток в цепи и распределение напряжений на ее участках. Тогда на характеристике I (U ) отмечаем точку А соответствующую приложенному напряжению U и проводим от нее горизонталь пересекающую кривые I (U 1 ) и I (U 2 ) до пересечения с осью ординат (точка D ), которая показывает величину тока в цепи, а отрезки В D и С D величину напряжения на элементах цепи. И наоборот по заданному току можно определить напряжения как общее, так и на элементах.

Параллельное соединения нелинейных элементов.

При параллельном соединении двух нелинейных элементов (рис. 2.8) с заданными вольт-амперными характеристиками в виде кривых I 1 (U ) и I 2 (U ) (рис. 2.9) напряжение U является общим, а ток I в неразветвленной части цепи равен сумме токов ветвей:

I = I 1 + I 2

Рис. 2.8 Схема параллельного соединения нелинейных элементов.

Поэтому для получения общей характеристики I(U) достаточно для произвольных значений напряжения U на рис. 2.9 просуммировать ординаты характеристик отдельных элементов.

Рис. 2.9 Вольт-амперные характеристики нелинейных элементов.

Постановка задачи: в известной схеме цепи с заданными параметрами необходимо рассчитать токи, напряжения, мощности на отдельных участках. Для этого можно использовать следующие методы:

преобразования цепи;

непосредственного применения законов Кирхгофа;

контурных токов;

узловых потенциалов;

наложения;

эквивалентного генератора.

Будем рассматривать первых два метода.

Метод преобразования цепи. Суть метода: если несколько последовательно или (и) параллельно включенных сопротивлений заменить одним, то распределение токов в электрической цепи не изменится.

а) Последовательное соединение резисторов. Сопротивления включены таким образом, что начало следующего сопротивления подключается к концу предыдущего (рис. 6).

Ток во всех последовательно соединенных элементах одинаков.

Заменим все последовательно соединенные резисторы одним эквивалентным
(рис. 7.).

По IIзакону Кирхгофа:

т.е. при последовательном соединении резисторов эквивалентное сопротивление участка цепи равно сумме всех последовательно включенных сопротивлений.

б) Параллельное соединение резисторов. При этом соединении соединяются вместе одноименные зажимы резисторов (рис. 8).

Все элементы присоединяются к одной паре узлов. Поэтому ко всем элементам приложено одно и тоже напряжениеU .

По Iзакону Кирхгофа:
.

По закону Ома
. Тогда
.

Для эквивалентной схемы (см рис. 7):
;
.

Величина , обратная сопротивлению, называется проводимостьюG .

;
= Сименс (См).

Частный случай: параллельно соединены два резистора (рис. 9).

в) Взаимное преобразование звезды (рис.10а) и треугольник сопротивлений (рис. 10б).

Преобразование звезды сопротивлений в треугольник:

Преобразование "треугольника" сопротивлений в "звезду":

Метод непосредственного применения законов Кирхгофа. Порядок расчета:

Примечание: если есть возможность, то перед составлением системы уравнений по законам Кирхгофа, следует преобразовать "треугольник" сопротивлений в соответствующую "звезду".

Пример расчет электрических цепей постоянного тока

Расчет будем выполнять с применением законов Кирхгофа, предварительно преобразовав треугольник сопротивлений в звезду.

Пример. Определить токи в цепи рис. 11, еслиE 1 = 160 В,E 2 =100 В,R 3 =100 Ом,R 4 =100 Ом,R 5 =150 Ом,R 6 =40 Ом.

Преобразуем треугольник сопротивлений R 4 R 5 R 6 в звезду сопротивленийR 45 R 56 R 64 , предварительно указав условные положительные направления токов в цепи (рис. 12).

После преобразования электрическая цепь примет вид рис. 13 (в непреобразованной части электрической цепи направления токов не изменятся).

Вполученной электрической цепи 2 узла, 3 ветви, 2 независимых контура, следовательно, в цепи протекает три тока (по количеству ветвей) и необходимо составить систему трех уравнений, из которых поIзакону Кирхгофа – одно уравнение (на 1 меньше, чем узлов в схеме электрической цепи) и два уравнения – поIIзакону Кирхгофа:

Подставим в полученную систему уравнений известные значения ЭДС и сопротивлений:

Решая систему уравнений любым способом, определяем токи схемы электрической цепи рис. 13:

А;
А;
А.

Переходим к исходной схеме (см. рис. 11). По IIзакону Кирхгофа:

;

А.

По Iзакону Кирхгофа:

;

;

Токииполучились отрицательными, следовательно, их действительное направление противоположно выбранному нами (рис. 14).

Правильность решения проверяем, составив уравнение баланса мощности. Мощность источников (учтем, что ЭДС источника E 2 направленно встречно токуI 2 , протекающему через него):

Мощность потребителей:

Погрешность вычислений в пределах допустимого (меньше 5%).

Смоделируем электрическую цепь рис. 11 средствами моделирующего пакета ElectronicsWorkbench(рис. 15):

Р
ис. 15

При сравнении расчетных результатов и результатов моделирования, можно увидеть, что они отличаются (различия не превышают 5%), т.к. измерительные приборы имеют внутренние сопротивления, которые моделирующая система учитывает

05.12.2014

Урок 25 (9класс)

Тема. Расчет простых электрических цепей

Решение любой задачи по расчету электрической цепи следует начинать с выбора метода, которым будут произведены вычисления. Как правило, одна и таже задача может быть решена несколькими методами. Результат в любом случае будет одинаковым, а сложность вычислений может существенно отличаться. Для корректного выбора метода расчета следует сначала определиться к какому классу относится данная электрическая цепь: к простым электрическим цепям или к сложным.

К простым относят электрические цепи, которые содержат либо один источник электрической энергии, либо несколько находящихся в одной ветви электрической цепи. Ниже изображены две схемы простых электрических цепей. Первая схема содержит один источник напряжения, в таком случае электрическая цепь однозначно относится к простым цепям. Вторая содержит уже два источника, но они находятся в одной ветви, следовательно это также простая электрическая цепь.

Расчет простых электрических цепей обычно производят в такой последовательности:

1. Сначала упрощают схему последовательно преобразовав все пассивные элементы схемы в один эквивалентный резистор. Для этого необходимо выделять участки схемы, на которых резисторы соединены последовательно или параллельно, и по известным формулам заменять их эквивалентными резисторами (сопротивлениями). Цепь постепенно упрощают и приводят к наличию в цепи одного эквивалентного резистора.

2. Далее подобную процедуру проводят с активными элементами электрической цепи (если их количество более одного источника). По аналогии с предыдущим пунктом упрощаем схему до тех пор, пока не получим в схеме один эквивалентный источник напряжения.

3. В итоге мы приводим любую простую электрическую схему к следующему виду:
Теперь есть возможность применить закон Ома - соотношение (1.22) и фактически определить значение тока протекающего через источник электрической энергии.

сочетанДомашнее задание

1. Ф.Я.Божинова, Н.М.Кирюхин, Е.А.Кирюхина. Физика, 9 класс, «Ранок», Харьков, 2009. § 13-14 (с.71-84) повторить.

2. Упражнение 13 (задача 2, 5), упражнение 14(задача 3, 5, 6) решить.

3. Переписать в рабочую тетрадь задачи 1, 3, 4 (см. следующие страницу).

ии с составлением баланса

Пи постоянного тока. Примеры решенных задач

Введение

Решение задач - неотъемлемая часть обучения физике, поскольку в процессе решения задач происходит формирование и обогащение физических понятий, развивается физическое мышление учащихся и совершенствуется их навыки применения знаний на практике.

В ходе решения задач могут быть поставлены и успешно реализованы следующие дидактические цели:

• Выдвижение проблемы и создание проблемной ситуации;
• Обобщение новых сведений;
• Формирование практических умений и навыков;
• Проверка глубины и прочности знаний;
• Закрепление, обобщение и повторение материала;
• Реализация принципа политехнизма;
• Развитие творческих способностей учащихся.

Наряду с этим при решении задач у школьников воспитываются трудолюбие, пытливость ума, смекалка, самостоятельность в суждениях, интерес к учению, воля и характер, упорство в достижении поставленной цели. Для реализации перечисленных целей особенно удобно использовать нетрадиционные задачи.

Задачи по расчету электрических цепей постоянного тока

По школьной программе на рассмотрение данной темы очень мало отводится времени, поэтому учащиеся более или менее успешно овладевают методами решения задач данного типа. Но часто такие типы задач встречаются олимпиадных заданиях, но базируются они на школьном курсе.

К таким, нестандартным задачам по расчету электрических цепей постоянного тока можно отнести задачи, схемы которых:

2) симметричны;

3) состоят из сложных смешанных соединений элементов.

В общем случае всякую цепь можно рассчитать, используя законы Кирхгофа. Однако эти законы не входят в школьную программу. К тому же, правильно решить систему из большого числа уравнений со многими неизвестными под силу не многим учащимся и этот путь не является лучшим способом тратить время. Поэтому нужно уметь пользоваться методами, позволяющими быстро найти сопротивления и емкости контуров.

Метод эквивалентных схем

Метод эквивалентных схем заключается в том, что исходную схему надо представить в виде последовательных участков, на каждом из которых соединение элементов схемы либо последовательно, либо параллельно. Для такого представления схему необходимо упростить. Под упрощением схемы будем понимать соединение или разъединение каких-либо узлов схемы, удаление или добавление резисторов, конденсаторов, добиваясь того, чтобы новая схема из последовательно и параллельно соединенных элементов была эквивалентна исходной.

Эквивалентная схема – это такая схема, что при подаче одинаковых напряжений на исходную и преобразованную схемы, ток в обеих цепях будет одинаков на соответствующих участках. В этом случае все расчеты производятся с преобразованной схемой.

Чтобы начертить эквивалентную схему для цепи со сложным смешанным соединением резисторов можно воспользоваться несколькими приемами. Мы ограничимся рассмотрением в подробностях лишь одного из них – способа эквипотенциальных узлов.

Этот способ заключается в том, что в симметричных схемах отыскиваются точки с равными потенциалами. Эти узлы соединяются между собой, причем, если между этими точками был включен какой-то участок схемы, то его отбрасывают, так как из-за равенства потенциалов на концах ток по нему не течет и этот участок никак не влияет на общее сопротивление схемы.

Таким образом, замена нескольких узлов равных потенциалов приводит к более простой эквивалентной схеме. Но иногда бывает целесообразнее обратная замена одного узла

несколькими узлами с равными потенциалами, что не нарушает электрических условий в остальной части.

Рассмотрим примеры решения задач эти методом.

З а д а ч а №1

Решение:

В силу симметричности ветвей цепи точки С И Д являются эквипотенциальными. Поэтому резистор между ними мы можем исключить. Эквипотенциальные точки С и Д соединяем в один узел. Получаем очень простую эквивалентную схему:

Сопротивление которой равно:

RАВ=Rac+Rcd=r*r/r*r+r*r/r+r=r.

З а д а ч а № 2

Решение :

В точках F и F` потенциалы равны, значит сопротивление между ними можно отбросить. Эквивалентная схема выглядит так:

Сопротивления участков DNB;F`C`D`; D`, N`, B`; FCD равны между собой и равны R1:

1/R1=1/2r+1/r=3/2r

С учетом этого получается новая эквивалентная схема:

Ее сопротивление и сопротивление исходной цепи RАВ равно:

1/RАВ=1/r+R1+R1+1/r+R1+R1=6/7r

З а д а ч а № 3 .

Решение:

Точки С и Д имеют равные потенциалы. Исключением сопротивление между ними. Получаем эквивалентную схему:

Искомое сопротивление RАВ равно:

1/RАВ=1/2r+1/2r+1/r=2/r

З а д а ч а № 4.

Решение:

Как видно из схемы узлы 1,2,3 имеют равные потенциалы. Соединим их в узел 1. Узлы 4,5,6 имеют тоже равные потенциалы- соединим их в узел 2. Получим такую эквивалентную схему:

Сопротивление на участке А-1, R 1-равно сопротивлению на участке 2-В,R3 и равно:

Сопротивление на участке 1-2 равно: R2=r/6.

Теперь получается эквивалентная схема:

Общее сопротивление RАВ равно:

RАВ= R1+ R2+ R3=(5/6)*r.

З а д а ч а № 5.

Решение:

Точки C и F-эквивалентные. Соединим их в один узел. Тогда эквивалентная схема будет иметь следующий вид:

Сопротивление на участке АС:

Сопротивление на участке FN:

Сопротивление на участке DB:

Получается эквивалентная схема:

Искомое общее сопротивление равно:

Задача №6

Решение:

Заменим общий узел О тремя узлами с равными потенциалами О, О 1 , О 2 . Получим эквивалентную систему:

Сопротивление на участке ABCD:

Сопротивление на участке A`B`C`D`:

Сопротивление на участке ACВ

Получаем эквивалентную схему:

Искомое общее сопротивление цепи R AB равно:

R AB = (8/10)*r.

Задача №7.

Решение :

“Разделим” узел О на два эквипотенциальных угла О 1 и О 2 . Теперь схему можно представить, как параллельные соединение двух одинаковых цепей. Поэтому достаточно подробно рассмотреть одну из них:

Сопротивление этой схемы R 1 равно:

Тогда сопротивление всей цепи будет равно:

З а д а ч а №8

Решение:

Узлы 1 и 2 – эквипотенциальные, поэтому соединим их в один узел I. Узлы 3 и 4 также эквипотенциальные – соединимих в другой узел II. Эквивалентная схема имеет вид:

Сопротивление на участке A- I равно сопротивлению на участке B- II и равно:

Сопротивление участка I-5-6- II равно:

Cопротивление участка I- II равно.

Законы Кирхгофа.

∑I=0

∑E=∑IR

Порядок расчета

1. Произвольно выбираем направление тока в ветвях.
2. Произвольно выбираем направление обхода контуров.
3. Зная полярность источников, проставляем направление ЭДС.
4. Составляем уравнения по первому закону Кирхгофа. Их должно быть но одно меньше, чем узлов.
5. Составляем уравнения по второму закону Кирхгофа из расчета, что общее число уравнений должно быть равно числу неизвестных токов.
6. Решаем систему уравнений и определяем неизвестные токи. Если в результате решения какой-либо ток окажется со знаком «-», то направление его противоположно выбранному.

Приведем пример.

Дано:

1. 1 =r 2 =0;
2. 1 =0,3 Ом;
3. 2 =1 Ом;
4. 3 =24 Ом;

Е 1 =246 В;

Е 2 =230В

Найти:

I 1 ,I 2 ,I 3 .

Решение:

Итак, на схеме рисуем направления токов (1), согласно этим направлениям рисуем направления обхода контуров (2), согласно полярности источников питания ставим направления ЭДС (3).

Согласно первому закону Кирхгофа:

I 1 -I 2 -I 3 =0 → -I 2 =I 3 -I 1

Теперь составляем уравнения по второму закону Кирхгофа:

E 1 =I 1 R 1 +I 3 R 3

Е 2 =-I 2 R 2 +I 3 R 3

Получили систему из трех уравнений. Решаем.

E 2 =(I 3 -I 1)R 2 +I 3 R 3

230=I 3 (1+R 3)-I 1 =25I 3 -I 1 → I 1 = 25I 3 -230

E 1 =I 1 R 1 +I 3 R 3 =(25I 3 -230)R 1 +I 3 R 3

246=0,3(25I 3 -230)+24I 3

246=7,5I 3 -69+24I 3

31,5I 3 =315

I 3 =10A

I 1 =25∙10-230=20A

I 2 =I 1 -I 3 =20-10=10A

2. Метод контурных токов

Этот метод основан на законе Кирхгофа

1. Произвольно выбираем направления контурных токов (рис.2)
2. Составляем уравнения по второму закону Кирхгофа.

E 1 -E 2 =I 1 (R 1 +R 2)-I 2 R 2

E 2 =I 2 (R 2 +R 3)-I 1 R 2

246-230=I 1 (0,3+1)-I 2 → 16=1,3I 1 -I 2 → I 2 =1,3I 1 -16

230=25(1,3I 1 -16)-I 1

31,5I 1 =630

I 1 =20A

I 2 =1,3∙20-16=10A

3. Определяем истинные токи.

I 1 =I 1 =20A

I 2 =I 1 -I 2 =10A

I 3 =I 2 =10A

3. Метод двух узлов

Этот метод применим для схем, имеющих два узла

1. Выбираем произвольно направления токов в ветвях в одну и ту-же сторону (см. рис.3 - стрелки со штрихами).
2. Определяем проводимости ветвей:

Q 1 =1/R 1 =1/0,3=3,33 Сим.

Q 2 =1/R 2 =1 Сим.

Q 3 =1/R 3 =1/24=0,0416 Сим.

1. Определяем напряжение между двумя узлами по формуле:

U=∑E q /∑ ar q=(E 1 +E 2 q 2)/(q 1 +q 2 +q 3)=(246∙3,31+230)/4,3716=240 В

1. Определяем токи в ветвях

I=(E-U)q

I 1 =(E 1 -U)q 1 =(246-240)3,33=20A

I 2 =(E 2 -U)q 2 =230-240=-10A

I 3 =-Uq 3 =240∙0,0416=-10А

Так как, значения I 2 и I 3 получились отрицательными, то эти токи будут противоположными по направлению (на рисунке показаны жирные сплошные стрелки).

4. Метод наложения или метод суперпозиции

Метод основан на том, что любой ток в цепи создается совместным действием всех источников питания. Поэтому можно рассчитать частичные токи от действия каждого источника питания отдельно, а затем, найти истинные токи как арифметическую составляющую частичных.

Решение

1. Рис. 4. Е 2 =0; r 2 ≠0

R э =R 2 R 3 /(R 2 +R 3)+R 1 =24/25+0,3=0,96+0,3=1,26 Ом

I’ 1 =E 1 /R э =246/1,26=195,23 Ом

U ab =I’ 1 R 23 =195,23∙0,96=187,42 В

I’ 2 =U ab /R 2 =187,42 A

I’ 3 = U ab /R 3 =187,42/24=7,8 A

2. Рис. 5. E 1 =0; R 1 ≠0

R э =R 1 R 3 /(R 1 +R 3)+R 2 =0,3∙24/24,3+1=0,29+1=1,29 Ом

I” 2 =E 2 /R э =230/1,29=178,29 A

U ab =I” 2 R 13 =178,29∙0,29=51,7 В

I” 1 =U ab /R 1 =51,7/0,3=172,4 A

I” 3 =U ab /R 3 =51,7/24=2,15 A

3. Определяем истинные токи.

I 1 =I’ 1 -I” 1 =195,23-172,4=22,83 A

I 2 =I’ 2 -I” 2 =187,42-178,29=9,13 A

I 3 =I’ 3 -I” 3 =7,8-2,15=5,65 A