Маппеты в maple. §2.1 Способы задания функций

Основные объекты (определение, ввод, действия с ними)

Числа

Maple V работает с числами следующего типа:

целыми десятичными (О, 1, 123, -456 и т.д.),

рациональными в виде отношения целых чисел (7/9, -123/127 и т.д.),

радикалами,

вещественными с мантиссой и порядком (1.23E5, 123.456E-10)

комплексными (2+3*I)

Целые числа задаются в виде последовательности цифр от 0 до 9.

Получить список всех команд для работы с целыми числами можно, набрав команду: ?integer . Приведем некоторые из этих команд:

Обыкновенные дроби задаются с помощью операции деления лвух целых чисел.

Заметим, что Maple автоматически произвадит сокращение дробей. Над обыкновенными дробями можно выполнять все основные арифметические операции. Если при задании дроби ее знаменатель сокращается, то такая "дробь" трактуется программой Maple как целое число. Для преобразования обыкновенной дроби в десятичную служит команда evalf() . Второй параметр этой команды задает число значащих цифр. Заметим, что десятичное представление всего лишь аппроксимация точной величины, представленной обыкновенной дробью, т.е. дробь и ее десятичное представление не являются идентичными объектами Maple.

Радикалы задаются как результат возведения в дробную степень целых или дробных чисел, или вычисления из них же квадратного корня функцией sqrt() , или корня n -ой степени функцией surd(число, n) .

Числа с плавающей точкой задаются в виде целой и дробной частей, разделенных десятичной точкой. Их можно представтить также, используя так называемую экспоненциальную форму записи (для указания порядка применяется символ e или E ).

Константы

Maple содержит целый ряд предопределенных именованных констант - таких, к значениям котрых можно обращаться по имени. Часть этих констант не может быть изменена. К ним относятся:

Число е задается как exp(1) .

Посмотреть все константы, определенные в Maple, можно, исполнив команду: ?ininame

Кроме перечисленных на странице Cправки констант все прерменные, имена которых начинаются с _Env , по умолчанию являются системными константами Maple.

Строки

Строки - любой набор символов, заключенный в ДВОЙНЫЕ кавычки. Длина строки в Maple практически не ограничена и может достигать на 32-битных компьютерах длины 268 435 439 символов.

Переменные, неизвестные и выражения

Каждая переменная Maple имеет имя, представляющее последовательность латинских символов, начинающихся с буквы, причем строчные и прописные буквы считаются различными. Кроме букв в именах переменных могут использоватьсчя цифры и знак подчеркивания, но ПЕРВЫМ символом имени должна быть БУКВА.

Выражение представляет собой комбинацию имен переменных, чисел и, возможно, других объектов Maple, соединенных знаками допустимых операций.

неизвестная величина , а выражение, содержащее неизвестные, называется символьным выражением. Именно для работы с такими выражениями прежде всего и разрабатывался Maple.

Важной операцией в Maple, связанной с выражениями, является операция присваивания (:=) . Она имеет следующий синтаксис: переменная:= выражение; Здесь в левой части задается имя переменной, а в правой - любое выражение, которое может быть числовым, символьным или просто другой переменной.

Переменные позволяют хранить и обрабатывать разнообразные типы данных. При этом по умолчанию переменная Maple имеет тип symbol, предсталяющий символьную переменную, и ее значением является ее собственное имя. При присвоении перемнной какого-нибудь значения, ее тип изменяется на тип присвоенного ей значения.

Внутренняя структура объектов Maple

Каждое алгебраическое выражение хранися системой Maple в виде древовидной структуры, обеспечивая тем самым доступ к любому ее члену или подвыражению, а также позволяя выполнять над ними разнообразные символьные преобразования. В представлении этой структуры каждый объект Maple делится на подобъекты первого уровня, которые, в свою очередь, такде делятся на подобъекты и т.д.

Команды, позволяющие выделять части объектов:

rhs(уравн)	Выделение правой части уравнения (или конца диапазона)
lhs(уравн)	Выделение левой части уравнения (или начала диапазона)
numer(дробь)	Выделение числителя числовой или алгебраической дроби
denum(дробь)	Выделение знаменателя числовой или алгебраической дроби
nops(выр)	Определяет количество операндов в выражении
op(выр) op(n,выр)	Выдает операнды выражения в виде списка, Извлекает n-ый операнд выражения
select(б ф, выр)	true
remove(б ф, выр)	Выделяет в выражении операнды, для которых булева функция дает значение false
indets(выр, тип)	Выделяет в выражении подвыражения заданного типа("*", "+" ...)

Познакомимся с этими командами более подробно.

Уравнение представляется в виде двух выражений, соединенных знаком равенства. Его не следует путать с операцией присваивания (:=). Уравнение является объектом Maple и служит для задания действительных уравнений. Его можно использовать в правой части операции присваивания, именуя тем самым уравнение.

В функции has() можно задать несколько подвыражений в виде списка. Ее результатом будет ИСТИНА тогда и только тогда, когда найдено хотя бы одно из подвыражений в списке.

Подстановка и преобразование типов

При выполнении математических преобразований часто необходимо произвести замену переменных в выражении, функции, уравнении и т.д., то есть вместо какой-то переменной подставить ее представление через некоторые другие переменные. А иногда необходимо выполнить преобразование выражения одного типа в другой. (Такое преобразование типов может потребоваться для выполнения некоторых команд, не работающих с исходным тиом выражения). Для этих целей в Maple существуетy несколько команд:

subs(подстановка, ВЫРАЖЕНИЕ)	Синтаксическая подстановка одного выражения вместо другого в ВЫРАЖЕНИЕ
algsubs(подстановка, ВЫРАЖЕНИЕ)	Алгебраическая подстановка одного выражения вместо другого в ВЫРАЖЕНИЕ
subsop(N=новое значение, ВЫРАЖЕНИЕ)	Подстановка нового значения вместо N-го операнда ВЫРАЖЕНИЯ
convert(ВЫРАЖЕНИЕ, тип)	Преобразует ВЫРАЖЕНИЕ в новый тип данных
whattype(ВЫРАЖЕНИЕ)	Определяет тип выражения.

Для подстановки вместо некоторой переменной (выражения) другого выражения служит команда subs() , синтаксис которой имеет следующий вид: subs(старое выражение=новое выражение, ВЫРАЖЕНИЕ) subs(s1, s2, .. sn, ВЫРАЖЕНИЕ) subs(, ВЫРАЖЕНИЕ) где каждое из s1,..sn является уравнением, определяющим подстановку.

Первая форма команды анализирует ВЫРАЖЕНИЕ , определяет в нем все вхождения старое выражение и подставляет вместо них новое выражение .

Вторая форма команды позволяет выполнить серию подстановок в ВЫРАЖЕНИЕ , причем подстановки выполняются последовательно, начиная с s1 . Это означает, что после выполнения первой подстановки, определенной s1 , Maple отыскивает вхождения левой части уравнения s2 во вновь полученном выражении и заменяет каждое такое вхождение на выражение, заданное в правой части уравнения s2 .

То есть вхождения выражений, заданных в левых частях уравнений s1, s2 , определяются в исходном параметре ВЫРАЖЕНИЕ . (см. примеры)

Воспользоваться командой simplify() , указав в качестве параметра требуемую замену (см. след раздел).

Воспользоваться командой algsubs() , которая осуществляет алгебраическую подстановку.

Отметим, что полное исключение "старой" переменной произведено только при использовании первого из указанных способов. В остальных случаях "старая" переменная все-таки остается в преобразованном выражении.

10. ПРОГРАММИРОВАНИЕ В СРЕДЕ MAPLE

Математический пакет Maple предоставляет возможность пользователям составлять собственные программы, процедуры и библиотеки. Для этого в пакете существует довольно широкий набор команд и конструкций аналогичный алгоритмическим языкам программирования высокого уровня.

10.1. Условный оператор

Условный оператор в Maple начинается с зарезервированного слова if и обязательно должен заканчиваться, словом fi и имеет следующую структуру:

if условие then выражение 1 else выражение 2 fi ;

Данная конструкция дает возможность зависимости от значения логического условия выполнять выражение 1 (в случае если условие истинно) или выражение 2 (в случае если условие ложно). В качестве выражений 1 или 2 могут выступать любые последовательности команд из пакета Maple. Условный оператор может быть записан в сокращенном виде:

if условие then выражение 1 fi ;

[> restart;

[> x:=4;

x:=4

[>if x>4 then print (‘x>4’); else x:=x^2;

print (2*x); fi;

32

Для реализации сложных условий необходимо использовать полный вариант условного оператора, который имеет следующую структуру.

if условие 1 then выражение 1 elif условие2 then выражение2 … elif условие n then выражение n else выражение n +1 fi ;

Как следует из структуры данного оператора вложенность условий может быть практически неограниченной и реализуется при помощи служебного слова elif . В качестве выражений можно использовать любые последовательности команд Maple.

[> restart;

[>x:=8:

[>if x

x:=c

10. 2 . Операторы цикла

В математическом пакете Maple для реализации циклического вычислительного процесса используются четыре вида операторов цикла. Телом всех операторов цикла является последовательность команд, заключенных между служебными словами do и od . Оператор цикла перечисляемого типа, который содержится практически во всех алгоритмических языках имеет, следующую структуру:

for имя переменной цикла from начальное значение переменной цикла by шаг приращения значения переменной цикла to конечное значение переменной цикла

[>for i from 0 by 4 to 8 do i od;

0

4

8

Оператор цикла типа «пока» в Maple имеет вид

while условие do выражение od ;

В данном случае тело цикла (выражение) выполняется до тех пор, пока значение логического условия истинно и прекращается, если условие - ложно.

[> restart;

[>n:=0:

[>while n

1

2

9

Следующий оператор цикла является симбиозом двух предыдущих и имеет следующую структуру:

for имя переменной цикла from начальное значение переменной цикла by значение приращение шага while условие do выражения od ;

В данном операторе цикла выражения выполняются до тех пор, пока логическое выражение условия является истинным, а переменная цикла изменяется от своего начального значения с заданным шагом.

[> restart;

[> for y from 0 by 2 while y

0

2

4

6

Четвертый оператор цикла предназначен для работы с аналитическими выражениями и представляется следующей структурой:

for имя переменной цикла in выражение 1 do выражение 2 od ;

Здесь тело цикла выражение 2 выполняется, в случае если символьная переменная заданная своим именем последовательно принимает значение каждого из операндов алгебраического выражения 1. Отметим, что работа данной конструкции зависит от внутреннего представления выражения 1. Так в случае если выражение 1 является суммой, то имя переменной цикла принимает поочередно значение каждого слагаемого, если произведение – то каждого сомножителя.

[> restart;

[> a:=5*x^2+x+6/x;

[> b:=simplify(%);

[> for m in a do m; od;

[> for m in b do m; od;

10.3. Процедуры-функции

Процедуры-функции в Maple можно задавать двумя способами. Для задания процедур-функций первый способ использует символ (  ) и задается следующей структурой:

имя функции:=(список формальных параметров)  выражение;

где имя функции задается набором символов латинского алфавита, список формальных параметров вводится через запятую. Выражение – команда Maple, реализующая тело процедуры-функции.

[> f1:=(x1,x2)->simplify(x1^2+x2^2);

[> f 1 (cos(x),sin(x));

1

Второй способ задания процедур-функций использует команду unapply и имеет следующую структуру:

имя функции:= unapply (выражение или операция, список переменных);

Этот способ задания процедур-функций полезен при определении новой функции через известную или, когда вычисленное выражение предполагает использовать как функцию.

Пример.

[> f3:=unapply(diff(z(r)^2,r)-2,z);

[ > f3(sin);

[ > combine(%);

10.4. Процедуры

Любая процедура в Maple начинается с заголовка, состоящего из имени процедуры, за которым следует знак присваивания и служебное слово proc , далее в круглых скобках через запятую указываются формальные параметры. Процедура обязательно заканчивается служебным словом end . Все выражения и команды заключенными между служебными словами proc и end составляют тело процедуры.

имя процедуры:= proc (список формальных параметров); команды (или выражения); end ;

Если процедура загружена, то ее вызов осуществляется по имени. Возвращаемым значением по умолчанию является значение последнего выполненного оператора (команды) из тела процедуры, при этом тип результата работы процедуры зависит от типа возвращаемого значения.

[> f:=proc(x,y);x^2+y^2;simplify(%);end:

[ > f(sin(x),cos(x));

1

При написании процедур в Maple можно использовать ряд команд и служебных слов, кроме указанного выше обязательного минимального набора, которые позволяют описывать переменные, управлять выходом из процедуры, сообщать об ошибках.

При описании формальных параметров процедуры можно явно задавать их тип через двоеточие. При таком описании Maple автоматически проверяет тип фактического параметра и выдает сообщение об ошибки в случае его несовпадения с типом формального параметра.

После заголовка процедуры может следовать описательная часть процедуры, отделяющаяся от него пробелом. При описании локальных переменных, используемых только внутри данной процедуры можно использовать описатель, который задается служебным словом local , после которого через пробел необходимо указать имена локальных переменных. Использование глобальных переменных в процедуре можно задавать служебным словом global , который должен размещаться в описательной части процедуры.

Для выхода из процедуры в любом месте ее тела и присваивания результату ее работы по выполнению нужной команды можно использовать команду RETURN ( val ), где val – возвращаемое значение, которое может иметь различный тип при выходе из разных мест процедуры.

Для аварийного выхода из процедуры в случае возникновения ошибки и сообщения о случившемся можно использовать команду ERROR (‘ string ’) , здесь string – сообщение, которое выводится на экран монитора в аварийной ситуации. Таким образом, общий вид структуры процедуры можно изобразить следующим образом:

имя процедуры:= proc (список параметров процедуры)  local  список локальных переменных, приведенных через запятую; global  список глобальных переменных, приведенных через запятую; RETURN ( val ); ERROR (‘ error in body of procedure ’);… end ;

[>

[ > examp(-1);

[> examp(0);

[ > examp(2);

11. СПОСОБЫ ВВОДА И ВЫВОДА ИНФОРМАЦИИ

В СРЕДЕ MAPLE

Для сохранения имен (индентификаторов) переменных и их значений во внешнюю память в виде файла с именем name . txt необходимо ввести команду:

save список имен переменных, перечисленных через запятую, “имя файла с расширением txt ”;

Если в качестве расширения указан символ m , то файл будет записан во внутреннем Maple-формате, при всех других расширениях в текстовом формате. Для вывода на экран сохраненной в файле информации используется команда

read “ имя файла ”;

[> restart;

[> examp:=proc(x) local y,w; global z; if x

[ > examp(-1);

[> examp(0);

Error, (in examp) Variablex = 0

[ > examp(2);

[ > read "nnn.txt";

Для записи всего содержимого экрана в файл можно использовать следующие две команды.

Первая команда

writeto (“имя файла”)

в результате выполнения этой команды вся информация, содержащаяся на экране, будет сохранена в файле с указанным именем. Причем, если указанный файл существовал во внешней памяти, то хранящаяся информация будет заменена на новую.

Вторая команда

appendto (“имя файла”)

дает возможность добавить информацию, отображаемую на экране, после данной команды в конец существующего файла.

[ > f:=12;

[> f1:=factor (y^2-3*y); save f,f1, "n1.txt";

[> appendto ("n1.txt");

[> solve(x^2-3*x+2=0,x);

В результате выполнения команды save f , f 1, " n 1. txt "; будет создан текстовый файл n 1. txt , который будет содержать следующую информацию:

f:= 12;

f1:= y*(y-3);

а в результате выполнения команды appendto (" n 1. txt "); содержимое файла примет вид:

f:= 12;

f1:= y*(y-3);

[ > solve ( x ^2-3* x +2=0, x );

2, 1

В пакете Maple предусмотрен ряд команд вывода информации на экран. Наиболее простыми из них являются команды

print (список Maple

lprint (список Maple -выражений, перечисляемых через запятую);

причем, если переменной ничего не присвоено, то на печать выводиться ее имя, в противном случае выводится ее значение.

[> x:=y^2: print (x, "primer 1", y, factor(x-5*y));

[> x:=y^2: lprint (x, "primer 2", y, factor(x-5*y));

y^2, primer 2, y, y*(y-5)

Из приведенных примеров следует, что команда print выводит выражения через запятую в естественном математическом виде, а команда lprint выводит информацию в стиле строки вывода и выражения отделяются друг от друга запятой и пробелами.

Пакет Maple можно использовать для анализа и графической интерпретации числовой информации, находящейся в текстовом файле, полученной как при помощи самого пакета, так и других программных приложений. Как правило, в текстовом файле числа записаны по строкам. Для считывания числовой информации из текстового файла можно использовать команду:

readdata (“имя файла”, тип переменной( integer / float – последний тип устанавливается по умолчанию),счетчик чисел);

Перед использованием данной команды необходимо ее активизировать при помощи команды:

readlib(readdata):

[> restart;

[> readlib(readdata):

[> ff:=readdata("aa.txt",integer,8);

[ > x:=ff;

[ > y:=x;

[ > y1:=ff;

[ > f:=readline("aa.txt");

Двойная индексация в переменной ff связана с тем, что числа представляются в виде двумерного массива, при этом число строк массива соответствует числу считанных строк, а количество столбцов определяется последним параметром команды readdata . Как следует из приведенного примера команда readline выводит числовые данные в виде переменной типа string .

12. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПАКЕТА MAPLE ДЛЯ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ

В данном разделе рассмотрим пример исследования средствами Maple решения прикладных инженерных задач. Приведенные примеры показывают возможности пакета Maple при решении инженерных задач, связанных с исследованием режимов работы оборудования, в зависимости от конструктивных и технологических параметров, комплексов и проиллюстрировать возможности программного и командного режимов работы пользователя в среде Maple. Далее приведены фрагменты исследований, сопровождаемые краткими пояснениями.

12.1. Исследование влияния изменяемых параметров плоской помольной камеры мельницы противоточного действия на скорость энергоносителя

12 .1.1. Постановка задачи

Струйные мельницы являются разновидностью ударных измельчителей и состоят из разгонного аппарата (одного или нескольких), в котором струя газа-энергоносителя сообщает, скорость частицам обрабатываемого материала, и камеры, в которой происходит взаимодействие потоков материала между собой и(или) со специальными отбойными поверхностями. В качестве энергоносителя в струйных мельницах чаще всего применяется воздух, реже – инертный газ, водяной пар, продукты сгорания.

Струйный помол дает возможность сочетания помола и разделения со смешением, сушкой и другими технологическими процессами. А работа в замкнутом цикле обеспечивает минимальное выделение пыли в окружающую среду.

Любой струйный аппарат включает в себя эжектор, представляющий собой узел, в котором происходит смешение и обмен энергией двух потоков (основного и эжектируемого) и помольную камеру, в которой взаимодействуют смешанные потоки. Ускоренные энергоносителем в разгонных трубках эжекторов частицы попадают в помольную камеру, а затем в зону встречи струй (рис. 12.1.).

Струя, выходящая из разгонной трубки, не сразу заполняет все поперечное сечение помолной камеры, струя в месте входа в нее отрывается от стенок и дальше движется в виде свободной струи, отделенной от остально среды поверхностью раздела. Поверхность раздела неустойчива, на ней возникают вихри, в результате чего струя перемешивается с окружающей средой.

При истечении струи из разгонной трубки скорости потока в ее выходном сечении 1-1 во всех точках сечения равны между собой. На протяжении длины– начальном участке, осевая скорость постоянна по величине и равна скорости на срезе разгонной трубки V 0 . В области треугольника АВС (рис. 12.1.) во всех точках струи скорости энергоносителя равны между собой и также равны V 0 - эта область образует так называемое ядро струи. Далее осевая скорость постепенно уменьшается и на основном участке длинной l осн осевая скорость V ОС V 0 .

Рис. 12.1. Схема струи в помольной камере

Известно, что скорость энергоносителя от среза разгонной трубки до плоскости соударения струй изменяется по закону

, (12.1)

где V z – скорость энергоносителя с помольной камере на расстоянии z от среза разгонной трубки, м/с;

V 0 – скорость энергоносителя на срезе разгонной трубки, м/с;

z 0 – расстояние от среза разгонной трубки до плоскости встречи струй, м.

При определении изменения кинетической энергии конечного объема сплошной среды, необходимо знать работу сил межкомпонентного взаимодействия частиц измельченного материала и энергоносителя. Эта работа зависит от вектора силы динамического воздействия энергоносителя на частицу, которая вычисляется следующим образом

, (12.2)

где R – вектор силы динамического воздействия воздуха на частицу, Н;

F m – площадь сечения частицы, м 2 ;

, (12,3)

Обозначим

, (12.8)

где m – масса частицы измельчаемого материала, кг.

, (12.9)

где - плотность частиц измельчаемого материала, кг/м.

Выражение (12.7) примет вид

. (12.10)

Полученное уравнение может быть использовано для определения изменения скорости частиц, измельчаемого материала в помольной камере на участве от среза разгонных трубок до области взаимодействия встречных потоков.

Система дифференциальных уравнений, описывающих процесс изменения скорости частиц и энергоносителя в помольной камере от среза разгонной трубки до области соударения встречных потоков

. (12.11)

Расстояние l стр – между срезом разгонной трубки и серединной плоскость в помольной камере выбрано из условия

, (12.12)

где d тр = 18 диаметр разгонной трубки, мм.

Кафедра: Информационные Технологии

Лабораторная Работа

На тему: "СИНТАКСИС, ОСНОВНЫЕ ОБЪЕКТЫ И КОМАНДЫ СИСТЕМЫ MAPLE "

Москва, 2008 год

Цели работы :

· знать основные объекты и переменные системы Maple;

· знать и уметь применять команды, используемые при работе с объектами и переменными системы Maple;

· знать синтаксис основных математических функций системы Maple.

Введение

Система аналитических вычислений Maple – интерактивная система. В данном случае это означает, что пользователь вводит команду или оператор языка Maple в области ввода рабочего листа и, нажав клавишу , сразу же передает ее аналитическому анализатору системы, который выполняет ее. При правильном введении команды в области вывода появляется результат выполнения этой команды, если команда содержит синтаксические ошибки или ошибки выполнения, система печатает сообщение об этом. Если ошибку надо исправить, то следует вернуться к оператору, откорректировать его и снова выполнить. Выполнив введенную команду, система ожидает очередной команды от пользователя. Можно вернуться в любой момент к любой команде или оператору на рабочем листе, подкорректировать его и снова выполнить. Однако, если на рабочем листе есть команда, использующая результат вновь вычисленной, то ее следует также снова вычислить, установив на нее курсор, и, нажав клавишу , а если таких команд много, то можно выполнить команду графического интерфейсаEdit ® Execute ® Worksheet для повторного вычисления всех команд рабочего листа.

Каждый оператор или команда обязательно завершаются разделительным знаком. Таких знаков в системе Maple два – точка с запятой (;) и двоеточие (:). Если предложение завершается точкой с запятой, то оно вычисляется, а в области вывода отображается результат. При использовании двоеточия в качестве разделителя команда выполняется, но результаты ее работы не отображаются в области вывода рабочего листа. Это удобно, например, при программировании в Maple, когда нет необходимости в выводе каких-то промежуточных результатов, получаемых из операторов цикла, так как вывод этих результатов может занять много места на рабочем листе, да и может потребоваться значительное количество времени на их отображение.

Здесь и далее для команд Maple используется запись в форме синтаксиса языка Maple. Если при выполнении примеров возникает желание отображать команды в математической нотации, то следует командой Options ® Input Display ® Standard Math Notation установить соответствующий режим отображения.

В Maple реализован свой язык, с помощью которого происходит общение пользователя с системой. Базовыми понятиями являются объекты и переменные, из которых с помощью допустимых математических операций составляются выражения.

Простейшими объектами , с которыми может работать Maple , являются числа, константы и строки.

Числа

Числа в системе Maple могут быть следующих типов: целые, обыкновенные дроби, радикалы, числа с плавающей точкой и комплексные. Первые три типа чисел позволяют выполнять точные вычисления (без округлений) разнообразных математических выражений, реализуя точную арифметику. Числа с плавающей точкой являются приближенными, в которых число значащих цифр ограничено. Эти числа служат для приближения (или аппроксимации) точных чисел Maple. Комплексные числа могут быть как точными, если действительная и мнимая части представлены точными числами, так и приближенными, если при задании действительной и мнимой частей комплексного числа используются числа с плавающей точкой.

Целые числа задаются в виде последовательности цифр от 0 до 9. Отрицательные числа задаются со знаком минус (–) перед числом, нули перед первой ненулевой цифрой являются не значащими и не влияют на величину целого числа. Система Maple может работать с целыми числами произвольной величины, количество цифр практически ограничено числом 2 28 . Вычисления с целыми числами реализуют четыре арифметических действия (сложение +, вычитание –, умножение *, деление /) и вычисление факториала (!).

Maple представляет большое целое число, которое не помещается в строке области вывода используя символ обратного слэша (\) в качестве символа продолжения вывода на следующей строке. Последняя команда вычисляет количество цифр в результате предыдущего вычисления. В ней в качестве параметра используется операция%, которая является всего лишь удобной формой ссылки на результат выполнения предыдущей операции. В Maple имеются еще две подобные операции, которые идентифицируют результаты предпредыдущей и предпредпредыдущей команд.Их синтаксис выглядит, соответственно, следующим образом:

В Maple имеется достаточно большой набор команд, позволяющих выполнить действия, специфичные при обработке целых чисел: разложение на простые множители (ifactor), вычисление частного (iquo) и остатка (irem) при выполнении операции целого деления, нахождения наибольшего общего делителя двух целых чисел (igcd), выполнение проверки, является ли целое число простым (isprime) и многое другое.

Для проверки вычисления частного и остатка двух целых чисел использованы операции получения результата выполнения предыдущей (вычисление частного) и предпредыдущей (вычисление остатка) команд. Результатом команды isprime () является булева константа true (истина) или false (ложь).

Набрав в области ввода рабочего листа команду? integer, можно получить список всех команд для работы с целыми числами

Обыкновенные дроби задаются с помощью операции деления двух целых чисел. Заметим, что Maple автоматически производит операцию сокращения дробей. Над обыкновенными дробями можно выполнять все основные арифметические операции.

Если при задании дроби ее знаменатель сокращается (см. последнее вычисление в примере), то такая «дробь» трактуется системой Maple как целое число.

Часто представление результата в виде обыкновенной дроби не совсем удобно, и возникает задача преобразования ее в десятичную дробь. Для этого используется команда evalf(), которая аппроксимирует обыкновенную дробь числами с плавающей точкой, используя десять значащих цифр в мантиссе их представления. Если точность по умолчанию не достаточна, то ее можно задать вторым параметром указанной функции.

Дробь и ее десятичное представление не являются идентичными объектами Maple. Десятичное представление всего лишь аппроксимация точной величины, представленной обыкновенной дробью.

Радикалы задаются как результат возведения в дробную степень целых или дробных чисел, или вычисления из них же квадратного корня функцией sqrt(), или вычисления корня n ‑ой степени с помощью функции surd (число, n). Операция возведения в степень задается символом ^ или последовательностью из двух звездочек (**). При возведении в степень дробей их следует заключать в круглые скобки, как, впрочем, и дробный показатель степени. При задании радикалов также производятся возможные упрощения, связанные с вынесением из-под знака радикала максимально возможной величины.

Вычисления с целыми, дробями и радикалами являются абсолютно точными, поскольку при работе с этими типами данных программа Maple не производит никаких округлений в отличие от чисел с плавающей точкой.

Числа с плавающей точкой задаются в виде целой и дробной частей, разделенных десятичной точкой, с предшествующим знаком числа, например, 3.4567, -3.415. Числа с плавающей точкой можно задавать, используя так называемую экспоненциальную форму записи, в которой сразу же после вещественного числа с плавающей точкой или обычного целого, называемого мантиссой, ставится символ е или е, после которого задается целое число со знаком (показатель степени). Такая форма записи означает, что мантиссу следует умножить на десять в степени числа, соответствующего показателю степени, чтобы получить значение числа, записанного в такой экспоненциальной форме. Например, 2.345е4 соответствует числу 23450.0. Таким образом, можно представлять очень большие по абсолютному значению числа (показатель степени положительное число) или очень маленькие (показатель степени отрицательное число).

Из чисел составляются математические выражения с помощью арифметических операций. Символы арифметических операций в Maple перечислены в табл. 1.

Таблица 1. Арифметические операции

Последовательность выполнения арифметических операций соответствует стандартным правилам старшинства операций в математике: сначала производится возведение в степень, затем умножение и деление, а в конце – сложение и вычитание. Все действия выполняются слева направо. Операция вычисления факториала имеет наибольший приоритет. Для изменения последовательности арифметических операций следует использовать круглые скобки.

Если все числа в выражении являются целыми, дробями или радикалами, то результат представляется также с использованием этих типов данных, но если в выражении присутствует число с плавающей точкой, то результатом вычисления такого «смешанного» выражения будет также число с плавающей точкой, если только в выражении не присутствует радикал. В этом случае радикал вычисляется точно, а коэффициент при нем вычисляется либо точно, либо в виде числа с плавающей точкой в зависимости от типа сомножителей.

Система аналитических вычислений Maple всегда пытается произвести вычисления с абсолютной точностью. Если это не получается, тогда подключается арифметика с вещественными числами.

Maple умеет работать и с комплексными числами . Для мнимой единицы

в Maple используется константа I . Задание комплексного числа не отличается от его обычного задания в математике.

РЕШЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

В MAPLE

ЧАСТЬ I

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение высшего

«Нижегородский государственный университет им. »

МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ В MAPLE

факультета для студентов, обучающихся по

направлению подготовки 010100 - «Математика».

Нижний Новгород

УДК 621.396.218

Решение задач в MAPLE. Часть I. Составители: , : Учебно-методическая разработка. – Н. Новгород: Издательство Нижегородского госуниверситета, 2007. – 35 с.

Рецензенты:

доцент кафедры ЧиФА факультета ВМК,

к. ф.-м. н. ,

доцент кафедры ПиУОС Физического факультета,

Данная разработка представляет собой практическое руководство по изучению возможностей пакета аналитических вычислений Maple . Последовательное изучение тем и выполнение заданий позволит шаг за шагом освоить основные приемы работы в математической системе Maple .

Учебно-методическая разработка предназначена для студентов 2 и 3 курсов механико-математического факультета .

УДК 621.396.218

© Нижегородский государственный

университет им. , 2007

Системы компьютерной алгебры – это новые технологии в научных исследованиях и образовании. В последние годы получили широкое распространение такие системы общего назначения, как Maple, Mathematica.

Система Maple включена в интегрированную систему Scientific WorkPlace и применяется во многих ведущих университетах мира как в научных исследованиях, так и в учебном процессе. Ядро Maple входит в другие распространенные пакеты, такие как MathCad, MathLab.

Данная разработка позволит начинающему войти в технологию использования системы Maple, получить первые навыки, после чего он сможет уже самостоятельно разобраться в более тонких вопросах использования Maple. Хотелось бы отметить, что эта разработка ни в коей мере не является описанием системы Maple. Она предназначена в первую очередь для обучения студентов-математиков решению основных математических задач при помощи Maple.

1. НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ. ТИПЫ ДАННЫХ

Диалог с системой протекает в стиле «вопрос-ответ». Команда начинается с символа > и заканчивается либо точкой запятой (; ), либо двоеточием (: ). Для выполнения команды необходимо нажать клавишу Enter . Если в конце команды стоит точка с запятой, то на экран будет выведен результат действия команды или сообщение об ошибке. Двоеточие в конце команды означает, что команда будет выполнена, но ее результат на экран не будет выводиться. Символ # используется для ввода текстовых комментариев. Также для ввода текста используется клавиша с символом T на панели инструментов. Для возвращения к вводу команд следует нажать клавишу с символом >. Для вызова результата действия предыдущих команд используются символы %, %% или %%%, соответственно. Команда restart отменяет результат действия всех предыдущих команд.

Переменные в Maple характеризуются именем и типом. Имя переменной в Maple может состоять из букв, цифр и некоторых специальных символов, но обязательно должно начинаться с буквы. Ограничений на длину имени нет. Кроме того, Maple различает строчные и прописные буквы. Для присваивания переменной конкретного значения применяется оператор := . Переменные могут использоваться в математических выражениях и функциях без предварительного определения.

Рассмотрим особенности записи в Maple данных числового, строкового и множественного типов.

Выражение принадлежит к целому типу (integer ), если оно состоит из последовательности цифр, не разделенных никакими знаками. Выражения вида a/b, где a, b – целые числа принадлежат к дробному типу (fraction ). К числам с плавающей точкой (float ) относятся выражения вида a. b, a. и. b. Также числа типа float можно записать в показательной форме a*10^b. Комплексные числа (complex ) в Maple записываются в алгебраической форме: a+I*b, где a, b – вещественные числа.

Строковое выражение типа string - это любая конечная последовательность символов, с обеих сторон заключенная в верхние двойные кавычки. Последовательность символов, взятая в обратные кавычки, считается символом (symbol ).

Множество (set ) в Maple задается перечислением в фигурных скобках элементов множества. Например,

> A:={x^n$n=1..6};

> B:={a, a,b, b,b, c};

https://pandia.ru/text/78/155/images/image003_72.gif" width="197" height="26">

Для создания массива используется команда array(i1..j1, i2..j2,..., M), которая возвращает массив с элементами из списка M.

Обращение к элементам множества, списка, массива происходит с указанием индексов элемента в квадратных скобках.

> V:=array(1..2,1..2,1..2,[[,],[,]]);

https://pandia.ru/text/78/155/images/image006_53.gif" width="16 height=19" height="19">

Массив также можно задать командой вида V:=array(1..2,1..2,1..2,); , переопределив затем значения V с помощью оператора присваивания.

В Maple можно записать буквы греческого алфавита в полиграфическом виде. Для этого в командной строке набирается название греческой буквы.

> beta+Gamma+delta;

Задание 1.1

1. Задайте множество A, состоящее из целых чисел от 3 до 20, и множество B, состоящее из квадратов этих чисел. Найдите объединение, пересечение, разность множеств A и B. Найдите мощности всех полученных множеств.

2. Задайте произвольный список и четырехмерный массив.

2. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ, ФУНКЦИИ. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ АРИФМЕТИЧЕСКИХ

ВЫРАЖЕНИЙ И РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ

2.1. Вычисления в Maple

Для записи математических выражений в Maple используются операторы сложения (+), вычитания (-), умножения (*), деления (/), возведения в степень (^), оператор присваивания (:=). Порядок выполнения математических операций является стандартным.

Пример.

> (a*b^4-(a*b)^4)/7;

Основные константы в Maple обозначаются следующим образом: Pi - число π, I - мнимая единица i, exp(1) - основание натуральных логарифмов e, infinity – бесконечность, true - истина, false – ложь. Используются следующие знаки сравнения: <, >, >=,<=, <>, = .

Система Maple одинаково успешно справляется как с символьными вычислениями, так и с численными. По умолчанию расчеты проводятся символьно.

Пример.

>1/2+123/100+ sqrt (3);

Часть выражения, в которой встречается число, записанное с плавающей запятой (float), будет вычислена приближенно.

Пример.

>2+ sqrt (2.0)- Pi ;

Все вычисления по умолчанию проводятся с десятью значащими цифрами. Количество значащих цифр можно изменить, применив команду > Digits : = n .

Для того, чтобы получить значение выражения в численном виде используется функция

https://pandia.ru/text/78/155/images/image012_43.gif" width="414" height="19">

2.2. Задание функций

В Maple встроено большое количество функций. Перечислим обозначения для основных элементарных функций..gif" width="83 height=57" height="57">

Рассмотрим несколько способов определения новых функций:

1) присваивание переменной некоторого выражения

имя переменной:=выражение;

имя переменной(список параметров):=выражение;

Пример.

> f (t ):= cos (t )^2+1;

> f (0);

При таком способе задания функции для того, чтобы вычислить значение функции в некоторой точке нужно определить с помощью оператора присваивания значения переменных (параметров), либо использовать оператор подстановки subs.

https://pandia.ru/text/78/155/images/image018_28.gif" width="106" height="33">

> value(%);

https://pandia.ru/text/78/155/images/image021_25.gif" width="100" height="33">

>x := Pi : y :=10: f ;

Команда value (выражение) используется для вычисления значения выражения.

Следует обратить внимание на то, что после присвоения переменной x конкретного значения x:=a, переменная x перестанет быть неопределенной. Вернуть x статус непределенной переменной можно командой > x := evaln (x ); или снять присваивание командой > x :=’ x ’ ; либо отменить все присваивания командой restart .

2) Определение функции с помощью функционального оператора

имя функции:=список параметров -> выражение;

Обращение к функции, заданной таким способом, происходит стандартным образом: имя функции(a, b, …), где a, b, … - конкретные значения переменных.

Пример.

> f 1:=(x , y , z ) -> x ^(y ^ z );

> f1(2,2,2); f1(x,2,2);

https://pandia.ru/text/78/155/images/image024_25.gif" width="25" height="26 src=">

3) Функцию можно задать с помощью команды

unapply(выражение, параметры) , которая преобразовывает выражение в функциональный оператор.

Пример.

> f2:=unapply(sin(x)^2+2*exp(y^2),x, y);

> f 2(Pi /4,1);

https://pandia.ru/text/78/155/images/image027_22.gif" width="189" height="107"> используется команда

https://pandia.ru/text/78/155/images/image028_21.gif" width="248" height="77">

> f1:=convert(f, piecewise);

> f2:=unapply(f1,x);

> f 2(-1/2); f 2(-1);

https://pandia.ru/text/78/155/images/image032_20.gif" width="196" height="27">.gif" width="73" height="49">. Упростите полученные выражения.

3. Найдите значение выражения . Для выполнения преобразований комплексного числа применяется функция evalc .

4. Запишите функцию без знака модуля.

5. Задайте и найдите f(-10)+3f(-1)+f(3).

6. Задайте функцию в виде функционального оператора и найдите ее значение при x=-1, y=.

2.3. Преобразование математических выражений

Maple обладает широкими возможностями для аналитических преобразований математических формул. К ним относятся такие операции, как приведение подобных, разложение на множители, раскрытие скобок, приведение рациональной дроби к нормальному виду и многие другие.

В Maple можно преобразовывать как все выражение в целом, так и отдельные его части.

Для выделения левой (правой) части в математическом выражении вида A=B используются команды

lhs (выражение);

rhs (выражение);

Для выделения числителя (знаменателя) используются команды

numer (выражение);

denom (выражение);

Пример .

>F:=(a^3+b)/(a-b)=3*a^2+b^2/(a+b);

>numer(rhs(F));

>denom (rhs (F ));

Для выделения некоторой части выражения, списка или множества служит команда

op (i ,выражение) , где i – число, определяющее позицию в выражении.

Пример.

> x + y + z ; >op (2,%);

Gif" width="12" height="12 src="> isolate (уравнение, выражение);

Пример .

> P := 2* ln (x )* exp (x ) -3* exp (y )+7=10* ln (x ) - exp (y ):

> isolate(P, y);

> R:=5*(x^2)*sin(x)+1=5*sin(x):

> isolate (R , sin (x ));

1) Приведение подобных членов в выражении по переменной осуществляется командой

https://pandia.ru/text/78/155/images/image047_14.gif" width="439" height="28">

2) Разложить на множители выражение можно с помощью команды

https://pandia.ru/text/78/155/images/image050_16.gif" width="186" height="56">

>factor(x^4-3*x^3+2*x^2+3*x-9);

>factor(x^3+x-3*sqrt(2));

>factor(x^3+16, {2^(1/3),sqrt(3)});

>alias(w=RootOf(x^3+2*x+1)); factor(x^3+2*x+1,w);

https://pandia.ru/text/78/155/images/image055_15.gif" width="504" height="26 src=">

> convert(%,radical);

https://pandia.ru/text/78/155/images/image057_17.gif" width="303" height="57">

> factor(x^2+x+1,complex);

Gif" width="12" height="12 src="> expand (выражение, опции) , где в опциях можно указать выражение, скобку с которым раскрывать не следует. Данную команду также используют для действий с экспонентами и сведения тригонометрических выражений к тригонометрическим функциям простых аргументов.

Пример .

>expand((x+1)*(x+2)*(x+3)*(x+4));

>expand((x+y)*(x+3), x+3);

>expand(exp(a-n*b+ln(c)));

>expand (tan (3* x ));

4) Привести дробь к нормальному виду можно с помощью команды

https://pandia.ru/text/78/155/images/image063_16.gif" width="60" height="54">

>normal(sin(2*x+3+4/(x-1)+5/(x-2)), expanded);

5) Для преобразований выражений, содержащих радикалы, применяется команда

rationalized " для того, чтобы избавиться от иррациональностей в знаменателях, " expanded " для раскрытия всех скобок.

Пример .

> (7+5* sqrt (2))^(1/3);

> radnormal ((7+5* sqrt (2))^(1/3));

> a := sqrt (3)/(3^(1/2)+6^(1/2));

rationalized ");

6) Упрощение выражений осуществляется командой

DIV_ADBLOCK515">

Пример .

>(sqrt(2)+sqrt(3))*(sqrt(2)-sqrt(3));

>simplify((sqrt(2)+sqrt(3))*(sqrt(2)-sqrt(3)));

> f:=(1-cos(x)^2+sin(x)*cos(x))/(sin(x)*cos(x)+cos(x)^2); simplify(f, trig);

Также в опциях указываются предположения о значении аргумента. Для формальных символьных преобразований многозначных функций в опциях можно указать symbolic .

Пример .

> g:=sqrt(x^2);

> simplify(g, assume=real);

> simplify(g, assume=positive);

>simplify(g, symbolic);

Команда simplify позволяет выполнить преобразования в выражении при заданных условиях (условия указываются в фигурных скобках).

Пример .

> f:= -3*x*y + x+y: simplify(f, {x = a-b, y = a+b});

В некоторых случаях бывает полезно предварительно преобразовать выражение при помощи команды

https://pandia.ru/text/78/155/images/image076_12.gif" width="276" height="54">

>simplify(B, trig);

>convert(%,tan):

>simplify (%);

7) Объединить части выражения по определенным правилам можно при помощи команды

https://pandia.ru/text/78/155/images/image079_12.gif" width="94" height="25 src=">, , при указании опции ln происходит потенцирование. Так же как для simplify в опциях можно указать symbolic .

Пример .

> combine(exp(sin(a)*cos(b))*exp(-cos(a)*sin(b)),);

>combine((a^3)^2+a^3*a^3);

Gif" width="12" height="12 src="> solve(уравнение, переменные).

Переменные перечисляются в фигурных скобках через запятую. Если не указывать набор переменных в параметрах команды, то решение будет найдено для всех переменных, участвующих в уравнениях. Если требуется решить систему уравнений, то уравнения системы указываются в фигурных скобках через запятую. Результатом применения команды solve будет список решений данного уравнения, либо, если уравнение не имеет решений или командой solve они не могут быть найдены, в строке вывода не появится никаких сообщений. Со списком решений можно работать так же как с обычным списком.

Пример .

> eq:=(x-1)^3*(x-2)^2;

> s:=solve(eq);

> solve(x^4-11*x^3+37*x^2-73*x+70);

https://pandia.ru/text/78/155/images/image086_12.gif" width="349" height="22 src=">

>e:=solve(AX);

>rhs(e); subs(e, z);

DIV_ADBLOCK517">

Пример.

>e1:={x^2-y^2=1,x^2+x*y=3};

> s:=solve(e1,{x, y});

> _EnvExplicit:=true:

> solve(e1,{x, y});

Максимальное количество решений, которое может быть найдено с помощью команды solve, определяется значением глобальной переменной _MaxSols , имеющей по умолчанию значение равное 100. Если придать глобальной перменной _EnvAllSolutions значение true , то в случае бесконечного множества решений, команда solve для некоторых уравнений сможет оформить ответ в виде выражения, содержащего переменные определенного типа. Например, для тригонометрических уравнений ответ будет содержать целочисленные параметры вида _Z~.

Пример.

> _EnvAllSolutions:= true:

>solve(sin(2*x)=cos(x), x);

https://pandia.ru/text/78/155/images/image094_11.gif" width="274" height="51 src=">.gif" width="12" height="12 src="> f solve(уравнение, переменные, опции).

В опциях можно указать интервал, в котором будет производиться поиск корней, также можно указать complex - для нахождения всех комплексных корней, либо опцию maxsols=n – для нахождения n наименьших корней полинома. Если уравнение задано полиномом, то команда fsolve будет находить все вещественные приближенные корни, в общем случае команда fsolve будет находить только один численный корень уравнения, другие корни можно искать, изменяя интервал поиска так, чтобы найденный корень в него не входил.

Пример .

> fsolve(x-cos(x));

https://pandia.ru/text/78/155/images/image097_10.gif" width="641" height="23">

Для разрешения реккурентностей применяется команда

https://pandia.ru/text/78/155/images/image098_10.gif" width="255" height="22 src=">

> rsolve(e1,f);

> rsolve({e1,f(0)=1,f(1)=2},f);

С помощью команды solve также можно решать неравенства и системы уравнений и неравенств.

Пример .

> solve(ln(x)<1, x);

https://pandia.ru/text/78/155/images/image102_8.gif" width="119" height="23 src=">

> solve({x-y>=1,x-2*y<=1,x-3*y=0,x+y>=1},{x, y});

https://pandia.ru/text/78/155/images/image104_7.gif" width="180" height="56">.

2. Упростите выражение .

3. Упростите выражение .

4.Приведите подобные в выражении и вычислите его значение при a=-3, x=1.

5. Упростите выражение а) ; б) .

6. Избавьтесь от иррациональностей в знаменателе выражения .

7. Выразите , https://pandia.ru/text/78/155/images/image113_7.gif" width="46" height="48 src="> в радикалах.

8. Доказать, что , если A, B, C – углы треугольника.

9. Выразите через и https://pandia.ru/text/78/155/images/image118_7.gif" width="164" height="41">;

б) https://pandia.ru/text/78/155/images/image120_7.gif" width="88" height="47 src=">.

11. Разложите многочлен на множители над полем вещественных чисел и над полем рациональных чисел. Найдите разложение в радикалах.

12. Разложите многочлен на множители над полем вещественных чисел и над полем комплексных чисел. Найдите разложение в радикалах.

13. Решите уравнение .

14. Решите систему уравнений .

15. Решите систему уравнений и упростите ответ.

16. Численно найти все решения уравнения .

17. Найти три численных решения уравнения .

18. Решите систему неравенств .

19. Решите неравенство .

3 . ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ

Эта часть посвящена возможностям системы Maple V в визуализации самых разнообразных вычислений.

3.1. Двумерные графики

Для построения графиков функции f(x) от одной переменной (в интервале https://pandia.ru/text/78/155/images/image132_6.gif" width="69" height="24"> по оси Оу ) используется команда

plot(f(x), x=a..b, y=c..d, options),

где options – опция или набор опций, задающих стиль построения графика. Если их не указывать, то будут использованы установки по умолчанию. Настройка изображения также может осуществляться с панели инструментов. Для этого следует щелкнуть левой кнопкой мыши по изображению. После этого становятся активными кнопки в нижнем ряду панели. Также можно узнать координаты точки на графике. Для этого необходимо подвести курсор к нужной точке графика и щелкнуть левой кнопкой мыши. Слева в нижнем ряду кнопок на панели появятся координаты. Настройка изображения также может осуществляться с помощью контекстного меню. Оно вызывается правой кнопкой мыши.

Основные параметры команды plot :

title=”text”, где text- заголовок рисунка (текст можно оставлять без кавычек, если он не содержит пробелов).

coords=polar – установка полярных координат (по умолчанию установлены декартовы).

axes – установка типа координатных осей: axes=NORMAL – обычные оси; axes=BOXED – график в рамке со шкалой; axes=FRAME – оси с центром в левом нижнем углу рисунка; axes=NONE – без осей.

scaling – установка масштаба рисунка: scaling=CONSTRAINED – одинаковый масштаб по осям; scaling=UNCONSTRAINED – график масштабируется по размерам окна.

style = LINE – вывод линиями, style = POINT вывод точками.

numpoints=n – число вычисляемых точек графика (по умолчанию n=50 ).

сolor – установка цвета линии: английское название цвета, например, yellow – желтый и т. д.

xtickmarks=nx и ytickmarks=ny – число меток по оси Оx и оси Оy , соответственно.

thickness=n, где n=1,2,3… - толщина линии (по умолчанию n=1 ).

linestyle=n – тип линии: непрерывная, пунктирная и т. д. (по умолчанию n=1 – непрерывная).

symbol=s - тип символа, которым помечают точки: BOX, CROSS, CIRCLE, POINT, DIAMOND .

font= – установка типа шрифта для вывода текста: f задает название шрифтов: TIMES, COURIER, HELVETICA, SYMBOL; style задает стиль шрифта: BOLD, ITALIC, UNDERLINE; size – размер шрифта в pt.

labels= – надписи по осям координат: tx – по оси Оx и ty – по оси Оy .

discont=true – указание для построения бесконечных разрывов, при этом на графике асимптоты не рисуются.

Пример. Построить график https://pandia.ru/text/78/155/images/image134_1.jpg" width="292 height=292" height="292">

Построение графика функции, заданной параметрически

С помощью команды plot можно строить также графики функций, заданных параметрически y=y(t), x=x(t) :

plot(, parameters) .

Пример. Построить график параметрической кривой , https://pandia.ru/text/78/155/images/image138_2.jpg" width="231 height=164" height="164">

Построение графика функции, заданной неявно

Для построения графика неявной функции F(x, y)=0 используется команда https://pandia.ru/text/78/155/images/image139_5.gif" width="80" height="27">.

>with(plots):implicitplot(x^2+y^2=1, x=-1..1, y=-1..1);

Gif" width="12 height=12" height="12"> textplot(, options), где x0, y0 – координаты точки, с которой начинается вывод текста ’text’ .

Вывод нескольких графических объектов на один рисунок

Если на одном рисунке нужно совместить несколько графиков функций, то можно воспользоваться командой

plot({f1(x), f2(x), …}, options);

Если необходимо нарисовать несколько графических объектов, полученных при помощи различных команд, то для этого результат действия команд присваивается некоторым переменным:

> p := plot (…): t := textplot (…):

При этом на экран вывод не производится. Для вывода графических изображений необходимо выполнить команду из пакета plots:

display(, options) .

Пример . Построить графики функций https://pandia.ru/text/78/155/images/image142_6.gif" width="73" height="20 src=">.gif" width="59" height="24 src="> на одном рисунке.

> with(plots):

> p1:=plot(sin(x), x=-5..5, y=-2..2, thickness=3, color=blue):

> p2:=plot(cos(x), x=-5..5, y=-2..2, thickness=3, color=green):

> p3:=plot(tan(x), x=-5..5, y=-2..2, thickness=3, color=black):

> p4:=plot(ln(x), x=-5..5, y=-2..2, thickness=3, color=red):

> display(p1,p2,p3,p4);

https://pandia.ru/text/78/155/images/image146_5.gif" width="297 height=24" height="24"> , то для этого можно использовать команду inequal из пакета plots:

inequals({f1(x, y)>c1,…,fn(x, y)>cn}, x=x1…x2, y=y1..y2, options)

В фигурных скобках указывается система неравенств, задающих область, затем размеры координатных осей и параметры. С помощью параметров можно регулировать толщину линий границ, цвета открытых и закрытых границ, цвета внешней и внутренней областей:

.gif" width="12" height="12 src=">optionsexcluded=(color=yellow) – установка цвета внешней области;

.gif" width="12" height="12 src=">optionsclosed(color=green, thickness=3) – установка цвета и толщины линии закрытой границы.

Задание 3.1

1. Построить график https://pandia.ru/text/78/155/images/image148_6.gif" width="75" height="43">.

3..gif" width="72" height="20">, в рамке.

4..gif" width="83" height="23 src=">

> plot(1-sin(x^2), x=0..2*Pi, coords=polar, color=black, thickness=4);

5. Построить график гиперболы: .

6..gif" width="75" height="20 src=">) вписанной в эллипс . Подпишите эти линии жирным шрифтом курсивом.

> with (plots ):

> eq := x ^2/16+ y ^2/4=1:

> el:=implicitplot(eq, x=-4..4, y=-2..2, scaling=CONSTRAINED, color=green, thickness=3):

> as:=plot(, color=blue, scaling=CONSTRAINED, thickness=2):

> eq1:=convert(eq, string):

> t1:=textplot(, font=, align=RIGHT):

> t2:=textplot(, font=, align=RIGHT):

> t3:=textplot(, font=, align=LEFT):

> display();

7. Построить область, ограниченную линиями: , , .

> with (plots ):

> inequal({x+y>0, x-y<=1, y=2}, x=-3..3, y=-3..3,

optionsfeasible=(color=red),

optionsopen=(color=blue, thickness=2),

optionsclosed=(color=green, thickness=3),

optionsexcluded=(color=yellow));

3 .2. Трехмерные графики. Анимация

График поверхности, заданной явной функцией

График функции можно построить, используя команду

plot3d(f(x, y), x=x1…x2, y=y1…y2, options) .

Параметры этой команды частично совпадают с параметрами команды plot. К часто используемым параметрам команды plot3d также относится

light= – задание подсветки поверхности, создаваемой из точки со сферическими координатами (angl1 , angl2 ). Цвет определяется долями красного (c1 ), зеленого (c2 ) и синего (c3 ) цветов, которые находятся в интервале .

style=opt задает стиль рисунка: POINT –точки, LINE – линии, HIDDEN – сетка с удалением невидимых линий, PATCH – заполнитель (установлен по умолчанию), WIREFRAME – сетка с выводом невидимых линий, CONTOUR – линии уровня, PATCHCONTOUR – заполнитель и линии уровня.

shading=opt задает функцию интенсивности заполнителя, его значение равно xyz – по умолчанию, NONE – без раскраски.

Трехмерные изображения удобнее настраивать не при помощи опций команды plot3d , а используя контекстное меню программы. Для этого следует щелкнуть правой кнопкой мыши по изображению. Тогда появится контекстное меню настройки изображения. Команды этого меню позволяют изменять цвет изображения, режимы подсветки, устанавливать нужный тип осей, тип линий. Так же как и для двумерных графиков можно активировать нижний ряд кнопок на панели инструментов, щелкнув левой кнопкой мыши по изображению. Поворачивать изображение можно с помощью кнопок панели или удерживая левую кнопку мыши.

Пример. Построить поверхность вместе с линиями уровня

https://pandia.ru/text/78/155/images/image160_0.jpg" width="321" height="198">

График поверхности, заданной параметрически

Если требуется построить поверхность, заданную параметрически: x =x (u ,v ), y =y (u ,v ), z =z (u ,v ), то эти функции перечисляются в квадратных скобках в команде:

plot3d(, u=u1..u2, v=v1..v2) .

Пример . Построить тор.

> plot3d(, s=0..2*Pi, t=0..11*Pi/6, grid=, style=patch, axes=frame, scaling=constrained);

https://pandia.ru/text/78/155/images/image162_4.gif" width="99" height="24">, строится с помощью команды пакета plot s :

implicitplot3d(F(x, y,z)=c, x=x1..x2, y=y1..y2, z=z1..z2), где указывается уравнение поверхности и размеры рисунка по координатным осям.

График пространственных кривых

В пакете plot s имеется команда spacecurve для построения пространственной кривой, заданной параметрически: .

spacecurve ([ x (t ), y (t ), z (t )], t = t 1.. t 2) , где переменная t изменяется от t1 до t2 .

Построение нескольких трехмерных фигур на одном графике

Команда plot 3 d позволяет строить одновременно несколько фигур, пересекающихся в пространстве. Для этого достаточно вместо описания одной поверхности задать список описаний ряда поверхностей. При этом функция plot 3 d обладает уникальной возможностью – автоматически вычисляет точки пересечения фигур и показывает только видимые части поверхностей. Это создает изображения, выглядящие вполне естественно.

Пример. Выполнить построение двух поверхностей и в пределах https://pandia.ru/text/78/155/images/image168_4.gif" width="39" height="19">.

> plot 3 d ({ x * sin (2* y )+ y * cos (3* x ), sqrt (x ^2+ y ^2)-7}, x =- Pi .. Pi , y =- Pi .. Pi , grid =, axes = FRAMED , color = x + y );

Анимация

Maple позволяет выводить на экран движущиеся изображения с помощью команд animate (двумерные) и animate3d (трехмерные) из пакета plot s . Суть анимации при использовании данных функций заключается в построении серии кадров, причем каждый кадр связан со значением изменяемой во времени переменной t. Среди параметров команды animate3d есть

frames – число кадров анимации (по умолчанию frames=8 ).

Управлять движущимся изображением удобнее с помощью контекстного меню.

Задание 3 .2

1. Построить график поверхности .

2. Построить шар :

3..gif" width="65" height="21 src=">.gif" width="173 height=53" height="53">.gif" width="95" height="48 src=">.gif" width="71" height="23 src=">.

Выведите название рисунка, подпишите названия осей и установите одинаковый масштаб по осям.

6. Нарисовать движущийся объект – лист Мебиуса.

4 . МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Рассмотрим основные функции для решения задач математического анализа, встроенные в пакет Maple.

4 .1. Предел функции и дифференцирование

Вычисление пределов осуществляется при помощи команды

.gif" width="12" height="12 src=">Limit (выражение, x=a, параметры) .

Пример .

>Limit(ln(cos(a*x))/(ln(cos(b*x))), x=0)=limit(ln(cos(a*x))/(ln(cos(b*x))), x=0);https://pandia.ru/text/78/155/images/image181_4.gif" width="215" height="58 src=">

Дифференцирование в Maple выполняется при помощи команды

DIV_ADBLOCK519">

https://pandia.ru/text/78/155/images/image182_4.gif" width="262" height="54">

В Maple имеется несколько способов представления функции.

Способ 1. Определение функции с помощью оператора присваивания (:= ): какому-то выражению присваивается имя, например:

> f:=sin(x)+cos(x);

Если задать конкретное значение переменной х , то получится значение функции f для этого х . Например, если продолжить предыдущий пример и вычислить значение f при , то следует записать:

> x:=Pi/4;

После выполнения этих команд переменная х имеет заданное значение .

Чтобы насовсем не присваивать переменной конкретного значения, удобнее использовать команду подстановки subs({x1=a1, x2=a2,…, },f), где в фигурных скобках указываются переменные хi и их новые значения аi (i =1,2,…), которые следует подставить в функцию f . Например:

> f:=x*exp(-t);

> subs({x=2,t=1},f);

Все вычисления в Maple по умолчанию производятся символьно, то есть результат будет содержать в явном виде иррациональные константы, такие как, и другие. Чтобы получить приближенное значение в виде числа с плавающей запятой, следует использовать команду evalf(expr,t), где expr – выражение, t – точность, выраженная в числах после запятой. Например, в продолжение предыдущего примера, вычислим полученное значение функции приближенно:

> evalf(%);

Здесь использован символ (% ) для вызова предыдущей команды.

Способ 2. Определение функции с помощью функционального оператора, который ставит в соответствие набору переменных (x1,x2,…) одно или несколько выражений (f1,f2,…) . Например, определение функции двух переменных с помощью функционального оператора выглядит следующим образом:

> f:=(x,y)->sin(x+y);

Обращение к этой функции осуществляется наиболее привычным в математике способом, когда в скобках вместо аргументов функции указываются конкретные значения переменных. В продолжение предыдущего примера вычисляется значение функции:

Способ 3. С помощью команды unapply(expr,x1,x2,…) , где expr – выражение, x1,x2,… – набор переменных, от которых оно зависит, можно преобразовать выражение expr в функциональный оператор. Например:

> f:=unapply(x^2+y^2,x,y);

В Maple имеется возможность определения неэлементарных функций вида

посредством команды

> piecewise(cond_1,f1, cond_2, f2, …).

Например, функция

записывается следующим образом.